Mate de la PAA,
toda la sección explicada paso a paso

1. Mira la recta de arriba. El punto A está justo en medio del 1 y del 2. ¿Qué número cae exactamente a la mitad entre 1 y 2? Pues uno y medio, que en números se escribe 1.5. Ya sabemos cuánto vale A.
2. Ahora tenemos que encontrar cuál opción vale lo mismo que 1.5. Como varias están en fracción, las paso todas a decimal (acuérdate: el número de arriba ÷ el de abajo):
   • 12 = 1 ÷ 2 = 0.5
   • 1.2 ya es 1.2
   • 2 − 34 = 2 − 0.75 = 1.25
   • 32 = 3 ÷ 2 = 1.5
3. La única que dio exactamente 1.5 fue 32. ¡Esa es la respuesta!

1. Primero veamos cuánto pusieron entre los tres para comprar el boleto. Sumamos: Juan $2 + Andrés $3 + Pedro $5 = $10. (Y mira, eso es justo lo que costó el boleto.)
2. La idea es repartir el premio igual de justo que como pagaron. Pedro puso 5 de esos 10 dólares, o sea pagó 510 del boleto. Y 510 es lo mismo que 12, ¡la mitad! Así que a Pedro le toca la mitad del premio.
3. El premio fue $27,000. La mitad es 27,000 ÷ 2 = $13,500. Eso fue lo que se llevó Pedro.

1. Vamos a hacer una lista de a quién le toca cada promo. Rosa le da la suya a cada 2da persona, así que le toca a la persona número: 2, 4, 6, 8, 10, 12… (vamos contando de 2 en 2).
2. Pablo le da la suya a cada 3ra persona: a la 3, 6, 9, 12… (de 3 en 3).
3. Para llevarse las dos promos, tu número tiene que estar en las dos listas. Busca los repetidos: el 6 está en las dos, el 12 también, el 18… La primera persona con las dos es la 6, así que la segunda es la 12. ¡Esa es!

1. Como p puede ser cualquier primo mayor que 2, usemos un truco: en vez de pensarlo con letras, escogemos un primo fácil y probamos. Tomemos p = 3 (3 es primo y es mayor que 2 ✓).
2. Entonces 4p = 4 × 3 = 12. Ahora hay que buscar todos los números que dividen exacto al 12 (sus factores, los que no dejan residuo). Vamos probando: el 1 sí, el 2 sí (12÷2=6), el 3 sí, el 4 sí (12÷4=3), el 6 sí (12÷6=2) y el 12 sí. Quedan: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
3. Solo nos queda contarlos: 1, 2, 3, 4, 6, 12 son 6 factores. (Pasa lo mismo con cualquier otro primo p > 2.) La respuesta es 6.

1. Fíjate en la última cifra del resultado: termina en 1. Esa última cifra siempre sale de multiplicar las unidades, o sea p × p. Entonces la pregunta es: ¿qué número, multiplicado por sí mismo, termina en 1?
2. Vamos probando del 1 al 9: 1×1=1 (sirve, pero 11×1=11 y eso no tiene 3 cifras). 9×9=81 (¡también termina en 1!). Probemos p = 9: entonces pp = 99, y 99 × 9 = 891. ¡Sí da un número de 3 cifras!
3. Comparemos 891 con la forma q p 1: la cifra de en medio es 9 (que es p ✓) y termina en 1 ✓. La primera cifra es 8, y esa es justo q. Entonces q = 8.

1. Fíjate en cómo está escrito 1,200: 2⁴ × 3 × 5². Esos exponentes son como una "lista de ingredientes". Para que un número sea múltiplo de 1,200, tiene que traer por lo menos esos mismos ingredientes: el 2 cuatro veces, el 3 una vez y el 5 dos veces. Puede traer más, pero nunca menos.
2. Vamos probando la opción A: 2⁵ × 3² × 5². Compara exponente por exponente:
   • El 2 trae 5 y necesitábamos 4 → 5 es mayor que 4, ¡bien!
   • El 3 trae 2 y necesitábamos 1 → bien.
   • El 5 trae 2 y necesitábamos 2 → igualito, también vale. ¡Esa es! Cumple con todo.
3. ¿Y por qué las otras no? Acuérdate que ninguno puede quedar por debajo. En B y en C el 2 trae exponente menor que 4 (le faltan veces el 2), y la D (2 × 3 × 5) es demasiado chiquita. Por eso la respuesta es la A.

1. El truco más fácil es inventarnos un precio cómodo. Imagina que el artículo cuesta $100. Con 100 es bien fácil ver los porcentajes.
2. Primer descuento, el 50%: la mitad de $100 son $50, así que te quitan $50 y el precio baja a $50.
3. Ahora viene el truco del problema: el segundo descuento (10%) no es de los $100, es de los $50 que ya quedaron. El 10% de $50 son solo $5. Se los quitamos y queda en $45.
4. Mira lo que pasó: empezaste con $100 y al final pagaste $45. O sea que en total te bajaron $55 de los $100, y eso es un 55%. Por eso 50% y 10% juntos no dan 60: ¡dan 55%!

1. Carmen usó 34 del alambre, así que le sobra el pedacito que falta para completar el entero: 14. Pero ojo, ese 14 es de los 5 metros completos, no un cuarto de un solo metro.
2. Entonces tenemos que sacar 14 de 5 metros. Sacar un cuarto es repartir en 4 partes iguales, o sea dividir: 5 ÷ 4 = 1.25 metros.
3. 1.25 metros es lo mismo que un metro entero y un cuarto más. Eso se escribe como número mixto: 114. ¡Esa es la respuesta, la B!

1. Siempre se empieza por lo que está dentro de los paréntesis, como abrir primero las cajitas. Resolvemos las dos:
   • (5 + 2) = 7
   • (5 − 8) = −3 (da negativo porque a 5 le quitas 8, te pasas del cero).
2. Reescribimos todo con esos resultados: queda 2 − 3 · 7 · (−3). Ya sin paréntesis que resolver, toca multiplicar antes de restar.
3. Multiplicamos por pasos:
   • 3 · 7 = 21
   • 21 · (−3) = −63 (positivo por negativo siempre da negativo).
4. Nos queda 2 − (−63). Acuérdate del truco: restar un negativo es lo mismo que sumar. Así que 2 + 63 = 65. ¡Esa es, la D!

1. Simplificar una raíz es buscar adentro un número "cuadrado perfecto" (1, 4, 9, 16, 25, 36…) para sacarlo afuera. Mira √50: 50 es 25 × 2, y como √25 = 5, el 5 sale afuera y queda 5√2.
2. Hacemos lo mismo con √72: 72 es 36 × 2, y √36 = 6, así que el 6 sale afuera y queda 6√2.
3. La última, √2, ya no se puede achicar. Para que se vea igual que las otras, piensa que es 1√2 (un solo √2). ¡Fíjate que ahora las tres tienen el mismo √2 adentro!
4. Como todas son "del mismo tipo" (manzanas con manzanas), solo sumamos y restamos los números de afuera: 5 + 6 − 1 = 10. El resultado es 10√2, la opción C.

1. Resolvemos primero lo de arriba. Acuérdate que el exponente dice cuántas veces multiplicas el número:
   • 2³ = 2×2×2 = 8
   • 3⁰ = 1 (regla especial: cualquier número elevado a 0 da 1).
   Sumamos: 8 + 1 = 9.
2. Ahora lo de abajo:
   • 3³ = 3×3×3 = 27
   Le restamos el 3: 27 − 3 = 24.
3. Juntando arriba y abajo nos queda 924. Esta fracción se puede achicar: 9 y 24 se pueden dividir entre 3 (9÷3 = 3 y 24÷3 = 8). Queda 38, ¡esa es la B!

1. Primero averiguamos cuántos toman al menos un idioma. Cuidado: no podemos hacer 35% + 20% a secas, porque el 10% que toma los dos ya está contado en español Y en inglés, o sea, contado dos veces. Lo restamos una vez: 35% + 20% − 10% = 45%.
2. El grupo entero es el 100%. Si 45% toma algún idioma, los que no toman ninguno son lo que falta para llegar a 100: 100% − 45% = 55%. En decimal eso es 0.55, la opción C.

1. Primero comprobemos por qué con 3 libros salen 6 formas. El primer puesto tiene 3 libros para escoger, el segundo ya solo 2 (porque uno ya lo pusiste) y el último 1. Multiplicas: 3 × 2 × 1 = 6. ¡Igual que dice el problema! Buena señal.
2. Con 4 libros es la misma idea, pero ahora hay un puesto más: 4 opciones para el primero, 3 para el segundo, 2 para el tercero y 1 para el último. Queda 4 × 3 × 2 × 1.
3. Lo multiplicamos de a poquito:
   • 4 × 3 = 12
   • 12 × 2 = 24
   • 24 × 1 = 24
   Así que hay 24 formas de acomodarlos, la opción D.

1. Primero buscamos los factores primos de 105, o sea los números primos que multiplicados dan 105. Vamos dividiendo entre primos chiquitos:
   • 105 ÷ 3 = 35
   • 35 ÷ 5 = 7
   • y el 7 ya es primo. Entonces 105 = 3 × 5 × 7.
2. Así que los factores primos son 3, 5 y 7. Cuéntalos: son 3 números. Eso nos hace falta para el promedio.
3. Sacar el promedio es sumarlos todos y repartir entre cuántos son: (3 + 5 + 7) ÷ 3 = 15 ÷ 3 = 5. ¡Esa es, la B!

1. Fíjate en la gráfica: cada puntito es una ficha, así que solo hay que contar los de cada color. Sale: azul 3, verde 4, rojo 2 y amarillo 6.
2. Para saber la probabilidad necesitamos el total de fichas. Las juntamos todas: 3 + 4 + 2 + 6 = 15 fichas en total.
3. La probabilidad es: las que quieres ÷ el total. Quieres una amarilla y hay 6, de 15 en total: 615. Si haces la división 6 ÷ 15 te da 0.4, la opción B.

1. Acuérdate: la moda es la barra más alta, la que tiene más personas. Así que mira la gráfica y busca cuál sube más. La barra de "2 visitas" llega hasta 5 personas, ¡y ninguna otra le gana!
2. Si la barra más alta es la del 2, eso quiere decir que lo más común fue hacer 2 visitas. Por eso la moda es 2. ¡Esa es!

1. Primero vamos a escribir las visitas de TODAS las personas, una por una, de menor a mayor:
   • tres personas hicieron 1 visita → 1, 1, 1
   • cinco hicieron 2 → 2, 2, 2, 2, 2
   • tres hicieron 4 → 4, 4, 4
   • una hizo 5 → 5
   • dos hicieron 6 → 6, 6
   (El 3 no aparece porque nadie hizo 3 visitas.) Si los cuentas todos, son 14 datos.
2. La mediana es el de en medio. Pero fíjate: 14 es par, así que NO hay uno solito en el centro, hay dos: el que hace 7 y el que hace 8. Toca buscar esos dos y promediarlos.
3. Cuenta con el dedo hasta el 7º dato: cae en un 2. Y el 8º también cae en un 2. Ahora los promedias: (2 + 2) ÷ 2 = 2. ¡Esa es la mediana!

1. Pregúntate primero: ¿de quién quieren sacar una conclusión? La compañía quiere saber de toda la gente de la ciudad que tiene casa (residencia). Ese es el grupo completo que les interesa.
2. Ese grupo completo es la población. Los 100 que escogieron al azar son solo un pedacito que revisaron de verdad: eso se llama la muestra, no la población. Por eso la respuesta es la ciudad con residencia.

1. Piensa en la desviación estándar como el tamaño de un paso: aquí cada paso vale 6. Como el estudiante está a 2 pasos, calcula cuánto suman los dos pasos juntos: 2 × 6 = 12.
2. Acuérdate que "sobre la media" quiere decir hacia arriba, así que sumas esos 12 al promedio: 74 + 12 = 86. ¡Esa es su puntuación!

Lo que tenemos que hacer: contar cuántas puntuaciones son 42 o más.

1. Primero hay que saber con cuánto se aprueba. La prueba es de 60 puntos y necesitas el 70%. Acuérdate que 70% es lo mismo que 0.70, así que: 0.70 × 60 = 42 puntos. O sea, hay que sacar 42 o más para pasar.
2. Ahora lee el diagrama: el número de la izquierda son las decenas y cada hoja de la derecha es una unidad (y vale por una persona). Vamos a convertir cada hoja en su número completo y buscar los que llegan a 42 o más.
3. Fila de los 40: 40, 40, 44, 44, 45, 45, 46, 47. ¡Ojo! Los dos 40 no llegan a 42, así que se quedan fuera. Los que sí pasan son 6.
4. Fila de los 50: 53, 53, 53, 58, 58. Todos son más grandes que 42, así que todos pasan. Aquí hay 5.
5. Por último junta los que pasan de las dos filas: 6 + 5 = 11 personas. ¡Esa es!

La meta: dejar la x sola.

1. La idea es dejar la x sola, e iremos quitando cosas de a poco. Primero molesta el −8. Para quitarlo le sumamos 8 a los dos lados (acuérdate: la ecuación es una balanza). Queda: 4x² = 56 + 8 = 64.
2. Ahora la x² está multiplicada por 4. Lo contrario de multiplicar es dividir, así que dividimos los dos lados entre 4: x² = 64 ÷ 4 = 16.
3. Ya casi. Tenemos x² = 16, pero queremos x sola. Lo contrario de elevar al cuadrado es sacar raíz cuadrada: x = √16 = 4, porque 4 × 4 = 16. ¡Esa es!

La meta: seguir los pasos de Mateo en el plano.

1. Mateo arranca en la estación A, que está en el punto (2, −1). Acuérdate: el primer número es cuánto a la derecha/izquierda, y el segundo cuánto arriba/abajo.
2. Se va 3 km al norte. Norte es hacia arriba, y arriba significa que el segundo número (la y) sube: −1 + 3 = 2. Entonces B queda en (2, 2).
3. Ahora se va 5 km al oeste. Oeste es hacia la izquierda, y eso hace que el primer número (la x) baje: 2 − 5 = −3. La y no se mueve. Así que C queda en (−3, 2). ¡Esa es!

1. Vamos por partes. "El doble de p" quiere decir 2 veces p, o sea 2p. (Doble es multiplicar por 2, NO elevar al cuadrado, así que cuidado con eso.)
2. Ahora "cinco menos que [2p]". Fíjate en el truco: "menos que" se voltea, significa que a 2p le quitas 5. Por eso queda 2p − 5, y no 5 − 2p. ¡Esa es!

La meta: que lo de adentro de la raíz no sea negativo.

1. Acuérdate de la regla de oro: no existe la raíz de un número negativo. Así que lo de adentro de la raíz, que es x − 1, tiene que ser 0 o más. Lo escribimos así: x − 1 ≥ 0.
2. Ahora despeja la x: súbele 1 a los dos lados y queda x ≥ 1. (El +2 de afuera no estorba, sumar 2 siempre se puede.)
3. Entonces la x puede ser 1 o cualquier número más grande. Eso se escribe [1, ∞): desde el 1 (incluido, por eso el corchete) hasta el infinito. ¡Esa es!

1. f(3) quiere decir: cambia cada x por 3 y haz la cuenta. Queda: f(3) = 3·(3)² + 2·(3) − 4.
2. Acuérdate del orden: primero las potencias. El cuadrado va de primero: 3² = 9. Queda: 3·9 + 2·3 − 4.
3. Ahora las multiplicaciones: 3·9 = 27 y 2·3 = 6. Queda: 27 + 6 − 4.
4. Por último, de izquierda a derecha: 27 + 6 = 33, y luego 33 − 4 = 29. ¡Esa es!

1. Primero mira el dibujo. Hay un círculo vacío en el 2. Acuérdate: vacío quiere decir "el 2 NO entra". Y la línea está pintada hacia la derecha, o sea hacia los números más grandes. Entonces estamos hablando de "todos los números mayores que 2", que se escribe x > 2.
2. Ahora fíjate: ninguna opción dice x > 2 así de simple. Pero podemos escribir lo mismo de otra forma. Si al 2 lo mandamos al otro lado de la línea (restándolo), nos queda x − 2 > 0. Compruébalo tú: si x es mayor que 2, entonces x − 2 tiene que dar más que 0. ¡Esa es! Es la opción D.

1. El primer día es diferente a los demás, fíjate: ese día Norma lee 5 páginas de un solo golpe. Quítaselas al total para ver cuánto le falta: 100 − 5 = 95 páginas todavía por leer.
2. De aquí en adelante lee siempre 3 por día, así que repartimos esas 95 de 3 en 3: 95 ÷ 3 = 31.67. Pero acuérdate que no existe "medio día de lectura", así que hay que subir al número entero de arriba: 32 días más (porque con 31 días todavía le falta un cachito).
3. Ahora sumamos: 1 día (el primero) + 32 días = 33 días en total.
4. Vamos probando si está bien. En 33 días lee 5 + 32·3 = 5 + 96 = 101 páginas (¡ya pasó las 100, lo logró!). Y en solo 32 días leería 5 + 31·3 = 98 (no le alcanza). Por eso la respuesta es 33.

1. Empezamos con lo que nos dan: 4x = 56y. Lo que queremos saber es cuánto vale 5y, así que tenemos que deshacernos de ese 6 que está abajo molestando.
2. El truco para quitar un número de abajo es multiplicar por él en los dos lados (lo que le haces a un lado, se lo haces al otro, para no romper la igualdad). Multiplicamos por 6: 6 · 4x = 6 · 56y.
3. Mira la magia del lado derecho: el 6 de arriba y el 6 de abajo se borran entre sí, y queda justo 5y limpio. Y del lado izquierdo, 6 · 4 = 24, o sea 24x. Entonces 5y = 24x. ¡Esa es, la D!

1. "Varían inversamente" quiere decir que si los multiplicas, siempre te da el mismo número. Vamos a buscar ese número con los datos que nos dan: x · w = 4 · 6 = 24. Acuérdate de este 24, porque no va a cambiar nunca.
2. Ahora nos dicen que x cambió a 8. Pero la multiplicación tiene que seguir dando 24, así que: 8 · w = 24.
3. ¿Qué número multiplicado por 8 da 24? Pues lo averiguas dividiendo: w = 24 ÷ 8 = 3. ¡Esa es! Fíjate que x subió (de 4 a 8) y por eso w bajó (de 6 a 3), tal como dijimos.

1. Primero, "1.5 millones" en números normales es 1,500,000 votos. Ese es el total que se reparten los dos candidatos juntos.
2. El problema es que no tienen lo mismo: el Candidato II tiene 15,000 votos de ventaja. Para poder repartir parejo, primero quitamos esa ventaja del total: 1,500,000 − 15,000 = 1,485,000. Ahora sí es como si los dos estuvieran empatados.
3. Como ya están parejos, partimos esa cantidad en 2 mitades iguales: 1,485,000 ÷ 2 = 742,500. Ese es el Candidato I (el que tiene menos).
4. Vamos probando que cuadre. El Candidato I tiene 742,500 y el II tiene 742,500 + 15,000 = 757,500. Súmalos: 1,500,000. ¡Justo el total! Por eso la respuesta es 742,500.

1. Mira la función: f(x) = 2x + 3. El número que está pegado a la x es el 2, y ese número es el que manda: dice que cada vez que x sube de a 1, la f sube de a 2. (El +3 no nos importa aquí, solo dice dónde arranca.)
2. Si por cada 1 que sube x la f sube 2, entonces si x sube 5 de golpe, la f sube 5 veces ese 2: 2 × 5 = 10.
3. Vamos probando con números de verdad. Si x = 0, entonces f = 3. Y si x = 5, entonces f = 2·5 + 3 = 13. Subió de 3 hasta 13, o sea subió 10. ¡Esa es!

1. "Misma solución" significa que el mismo número de x sirve en las dos ecuaciones. Y fíjate qué regalo nos da la segunda: dice que para esa x, la fracción x + 4x − 1 vale exactamente 6.
2. Ahora mira la primera ecuación: ¡tiene esa misma fracción adentro! Como ya sabemos que vale 6, la cambiamos por 6 sin miedo: b = 3 + 2·(6).
3. Solo queda calcular: 2 × 6 = 12, y luego 3 + 12 = 15. ¡Esa es, la C!

1. Este tiene dos partes. Primero hay que descubrir cuánto vale a. Nos dan una pista: que x = 1 resuelve la primera ecuación. Así que metemos el 1 en lugar de cada x: √1 + a·√1 + 3 = 3, que es 1 + a·√4 = 3.
2. Acuérdate que √4 = 2 (porque 2 × 2 = 4). Entonces queda 1 + 2a = 3. Le quitamos el 1 a los dos lados: 2a = 2, y luego a = 1. ¡Ya sabemos cuánto vale a!
3. Ahora vamos a la segunda ecuación y ponemos a = 1: 1·√x − 3 = 1. Como multiplicar por 1 no cambia nada, queda √x − 3 = 1.
4. Para deshacer una raíz cuadrada se hace lo contrario: elevar al cuadrado (multiplicar el número por sí mismo) en los dos lados. Como 1 al cuadrado es 1, queda x − 3 = 1, y entonces x = 4. ¡Esa es, la D!

1. Acuérdate que los tres ángulos de un triángulo siempre suman 180°. Aquí ya tenemos uno de 90° y otro de 45°. El que falta es 180 − 90 − 45 = 45°. Así que este triángulo es del tipo 45-45-90.
2. Aquí está el secreto: cuando los dos ángulos de abajo son iguales (45° y 45°), los dos lados cortitos (catetos) también son iguales. Como uno mide 9, el otro también mide 9.
3. En estos triángulos hay una regla fija: el lado largo (la hipotenusa, que es x) siempre es el cateto multiplicado por √2. Entonces x = 9 × √2 = 9√2. ¡Esa es, la A!

1. Nos dicen que los dos arcos son iguales. Si dos cosas son iguales, sus medidas tienen que dar lo mismo, ¿cierto? Entonces ponemos un igual entre las dos expresiones: 6x − 20 = 2x.
2. Ahora juntamos las x de un lado. Le quitamos 2x a los dos lados para juntarlas: 6x − 2x = 20, o sea 4x = 20. ¿Qué número por 4 da 20? Dividimos: x = 20 ÷ 4 = 5.
3. Ya tenemos x = 5, pero ¡ojo! la pregunta es cuánto mide el arco AB, no cuánto vale x. Así que metemos el 5 en la expresión de AB: 6(5) − 20 = 30 − 20 = 10. (Y revisa CD: 2(5) = 10, da igualito, así que está bien.) ¡Esa es, la D!

1. Acuérdate que complementarios quiere decir que los dos ángulos juntos suman 90°. Entonces pega los dos pedazos: x + (x − 20) = 90.
2. Junta lo que se parece: tienes dos x, o sea 2x, y un −20. Queda 2x − 20 = 90.
3. Pasa el 20 al otro lado sumando: 2x = 110. Ahora parte entre 2 (porque son dos x): x = 55. ¡Esa es!

1. Fíjate en el truco de las rectas paralelas: cuando una recta inclinada cruza líneas paralelas, los ángulos que caen en el mismo lugarcito en cada cruce valen lo mismo. Por eso, en la primera recta inclinada: 5x + 10y = 70.
2. Lo mismo pasa en la segunda recta inclinada, así que: 25x + 4y = 120. Ya tienes dos pistas (dos ecuaciones).
3. La primera se ve fea, vamos a achicarla. Todos los números (5, 10 y 70) se pueden partir entre 5, así que queda más sencilla: x + 2y = 14. De ahí despejo: x = 14 − 2y.
4. Ahora cambio ese x dentro de la segunda pista:
   • 25(14 − 2y) + 4y = 120
   • 350 − 50y + 4y = 120
   • −46y = −230, así que y = 5.
5. Ya sé que y = 5. Lo meto donde despejé: x = 14 − 2(5) = 14 − 10 = 4. ¡Lo lograste, esta era de las difíciles!

1. Acuérdate que el volumen de una caja es largo × ancho × alto (cuántos cubitos caben adentro). Aquí son 25, 10 y 5, así que multiplica las tres: 25 × 10 × 5.
2. Hazlo por pasos para no enredarte:
   • 25 × 10 = 250
   • 250 × 5 = 1250
   Entonces caben 1250 metros cúbicos de agua. ¡Esa es!

1. Acuérdate que el área de un círculo es π × radio². Vamos probando con un número fácil: si el radio es 2, el área es π(2)² = 4π.
2. Ahora dobla el radio: de 2 pasa a 4. El área nueva es π(4)² = 16π. Fíjate que el radio solo se duplicó, pero el área creció muchísimo más.
3. ¿Cuántas veces creció el área? Compara: 16π ÷ 4π = 4 veces. Eso pasa porque el radio va al cuadrado: 2 al cuadrado es 4. ¡Esa es!

1. Empieza por el cono grande (radio 2, altura 6). Mete los números en la fórmula:
   • π3·(2)²·6 = π3·24 = 8π.
2. Ahora el cono pequeño (radio 1, altura 3), igualito:
   • π3·(1)²·3 = π3·3 = π.
3. "Razón" solo quiere decir comparar dividiendo: pequeño entre grande = π ÷ 8π. La π de arriba y la de abajo se cancelan, y queda 18. ¡Esa es!

1. Fíjate en una esquinita del dibujo: ese cuadradito chiquito tiene de lado lo mismo que el radio, o sea 3.
2. Aquí está el truco lindo: el pedazo curvo que está pintado es exactamente del mismo tamaño que el hueco curvo de la esquina de enfrente. Si agarras la parte curva pintada y la mueves para tapar el hueco, ¡juntas arman un cuadradito completo!
3. Entonces todo lo pintado vale lo mismo que un cuadradito: 3 × 3 = 9. ¡Esa es! No hizo falta usar π.

1. Vamos probando con números fáciles. El círculo pequeño con radio 1: área = π(1)² = π. El grande tiene el diámetro triple, así que su radio también es triple, o sea 3: área = π(3)² = 9π.
2. Compara dividiendo grande entre pequeño: 9π ÷ π = 9. Fíjate que al triplicar, el área se hizo 3 al cuadrado = 9 veces más grande, porque el radio va al cuadrado. ¡Esa es!

1. Primero saca el radio de la piscina. El radio es siempre la mitad del diámetro, y el diámetro es 10, así que 10 ÷ 2 = 5 pies.
2. La verja va 7 pies más afuera del borde, o sea su radio es más grande: 5 + 7 = 12 pies. Acuérdate que la verja es otro círculo, solo que más ancho.
3. El largo de la verja es la vuelta completa (circunferencia), y eso se saca con 2 × π × radio: 2 × π × 12 = 24π pies. ¡Esa es!

1. Ojo: te dan el diámetro, no el radio. El radio es la mitad, así que de 10 sacamos radio = 5 metros.
2. Un cilindro es como una lata: su volumen es π × radio² × altura. Mete los números por pasos:
   • π × (5)² × 12
   • π × 25 × 12 = 300π metros cúbicos. ¡Esa es!

1. Acuérdate de esta regla: cuando estiras un lado del triángulo, el ángulo que queda por fuera (x) vale lo mismo que sumar los otros dos ángulos de adentro, los que NO están pegaditos a él. Aquí esos dos son a y b.
2. Entonces no hay que calcular nada raro: x = a + b. ¡Esa es!

1. Empecemos con la Tienda 1. Acuérdate: si te quitan 40%, te quedas pagando el resto, que es 100% − 40% = 60% del precio. Entonces fíjate, ese 60% de P es lo que pagaste, o sea $18:
   • 0.60 · P = 18
   Para hallar P, deshaces la multiplicación dividiendo: P = 18 ÷ 0.60 = $30.
2. Ahora la Tienda 2. Aquí te quitan 50%, así que pagas la mitad, el 50% de Q. Y eso también dio $18:
   • 0.50 · Q = 18
   Divides igual que antes: Q = 18 ÷ 0.50 = $36.
3. El problema pregunta la diferencia entre los dos precios originales. Eso es restar el más grande menos el más chico: 36 − 30 = $6. ¡Esa es!

1. Acuérdate del truco: un número se puede dividir entre 3 si al sumar todos sus dígitos te da un múltiplo de 3. Entonces vamos sumando los dígitos de 14K75, dejando la K ahí metida:
   • 1 + 4 + K + 7 + 5 = 17 + K.
2. Ahora buscamos qué K hace que 17 + K caiga en un múltiplo de 3 (los múltiplos van 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24…). Vamos probando:
   • K = 1 → 18 ✓
   • K = 4 → 21 ✓
   • K = 7 → 24 ✓
3. Como el problema solo pide un valor que sirva, puedes escoger cualquiera de esos. Un valor posible es 1 (también valen 4 o 7).

1. La probabilidad es: (las formas en que sí pasa lo que queremos) ÷ (todas las formas posibles). Primero contemos todas: cada dado tiene 6 caras, así que entre los dos hay 6 × 6 = 36 combinaciones distintas.
2. Ahora contemos solo las que suman 5. Fíjate, importa qué dado saca qué número, así que las listamos todas:
   • (1,4), (2,3), (3,2) y (4,1) → son 4 formas.
3. Juntamos: probabilidad = 436. Esa fracción se puede achicar dividiendo arriba y abajo entre 4, y queda 19.

1. Acuérdate que la moda es simplemente el número que más veces aparece. Así que vamos mirando la lista {0, 3, 10, −3, 1, 3} y contamos repetidos: fíjate que el 3 sale dos veces, y todos los demás salen una sola vez.
2. Como el 3 es el que más se repite, esa es la moda: 3. ¡Esa es!

1. Vamos a llamar p al precio de un pedazo de pizza. Apuntamos lo que sabemos:
   • 4 pizzas + 2 refrescos = 7.90
   • 2 refrescos cuestan 15 centavos más que una pizza, o sea 2 refrescos = p + 0.15 (acuérdate que 15 centavos son $0.15).
2. Aquí está el truco: como ya sabemos cuánto valen "2 refrescos" en términos de la pizza, los cambiamos en la primera frase. Donde decía "2 refrescos" ponemos (p + 0.15):
   • 4p + (p + 0.15) = 7.90
   Así toda la ecuación queda solo con pizza.
3. Juntamos las pizzas: 4p y 1p son 5p, entonces 5p + 0.15 = 7.90. Le quitamos el 0.15 a los dos lados: 5p = 7.75. Y como son 5 pizzas iguales, dividimos entre 5: p = 7.75 ÷ 5 = $1.55.

1. La pendiente se ve facilito cuando la ecuación está en la forma y = (algo)·x + número. Así que primero hay que dejar la y solita. Movemos el 9x al otro lado (cambia de signo): −3y = −9x + 12.
2. Todavía la y está multiplicada por −3, así que dividimos todo entre −3 para liberarla. Fíjate que cada pedazo cambia de signo al dividir entre un negativo:
   • y = 3x − 4.
3. ¡Listo! El número que va pegado a la x es la pendiente. Aquí es el 3, así que la pendiente es 3.

1. El truco es poner todo en base 2, porque el lado derecho ya es una potencia de 2. Acuérdate que 4 = 2² y 8 = 2³. Y cuando una potencia está elevada a otra, los exponentes se multiplican:
   • 4ⁿ = (2²)ⁿ = 2²ⁿ
   • 8ⁿ = (2³)ⁿ = 2³ⁿ
2. Ahora multiplicamos esas dos. Acuérdate de la otra regla: al multiplicar potencias de la misma base, se suman los exponentes:
   • 2²ⁿ × 2³ⁿ = 2⁵ⁿ (porque 2n + 3n = 5n).
3. Nos quedó 2⁵ⁿ = 2¹⁰. Si las bases son iguales (las dos son 2), entonces los exponentes tienen que ser iguales: 5n = 10. Dividimos entre 5 y n = 2.

1. Fíjate en el 70° de arriba: está pegado a donde se cruzan las dos líneas. Acuérdate que cuando dos líneas se cruzan, los ángulos que quedan "de frente" (opuestos por el vértice) son igualitos. Por eso el ángulo de adentro del triángulo en B también mide 70°.
2. Ahora usa que el triángulo es isósceles: nos dicen que los lados AC y BC son iguales. En un triángulo, si dos lados miden lo mismo, los ángulos que les quedan enfrente también son iguales. Aquí esos son el ángulo de A y el de B.
3. Entonces x, que es el de A, mide lo mismo que el de B. Como el de B es 70°, pues x = 70°. ¡Esa es!

1. Aunque la figura se ve enredada, hay un dato clave: ese paralelogramo siempre tapa exactamente la cuarta parte del cuadrado, o sea 14. Y nos dicen que ese pedacito mide 5 cm².
2. Si una de las 4 partes iguales mide 5, entonces el cuadrado completo es 4 veces eso. Multiplicamos: 4 × 5 = 20 cm². ¡Esa es!

1. Nos falta la altura, pero nos la dan amarrada a CD: dicen que BC es 13 de CD. Como CD mide 6, la altura es la tercera parte de 6:
   • BC = 13 × 6 = 2 cm.
2. Ya tenemos las tres medidas de la caja. Acuérdate que el volumen de una caja es largo × fondo × alto, o sea cuánto cabe adentro:
   • Volumen = 8 × 6 × 2.
3. Lo hacemos por pasos para no enredarnos: primero 8 × 6 = 48, y luego 48 × 2 = 96. Como es espacio adentro, va en centímetros cúbicos: 96 cm³.